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反证法和归谬法的区别?

归档日期:07-24       文本归类:反例      文章编辑:爱尚语录

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  这两种证明方法的确很相似,都是用充分条件假言推理的否定后件式,在证明过程中都引进了一个新的前提,都利用了推出矛盾的方法,等等。但是,这两种证明方法并不因为它们之间的这种相似性就变成了同一种证明方法。它们的不同,除了表面的以外,还有更深层的逻辑上的不同。正因为这两种证明方法在逻辑上的不同,我们才认为它们是两种不同的证明方法。

  反证法与归谬法实质性的区别是逻辑形式的不同,由此产生了语言表达形式上的差异。在现代命题逻辑的公理系统中,刻画这两种证明方法的逻辑结构是如下两个公式:

  反证律与归谬律尽管在形式上非常相近,但它们的证明能力实际上是存在差异的。通过逻辑证明,可以说明反证律的证明能力比归谬律的证明能力强。在正命题逻辑系统中若加上反证律,则可以证明归谬律和双重否定律。所以反证律和归谬律之间相差一个双重否定律。逻辑研究表明:在构造公理系统时,如果其他公理相同,那么,把Ⅰ选作公理和把Ⅱ选作公理所得到的公理系统是不同的。在有Ⅱ为公理的系统中的定理都是有Ⅰ为公理的系统中的定理。反之,则不然。

  反证法假设矛盾论题,而归谬法不假设矛盾论题,这是两者在逻辑形式上的根本区别。反证法在证明时所假设的前提是与论题相矛盾的论题,论题的反对命题是不能作为反论题的,它所要证明的是命题的否定,即:如果我们要证明A,则假设非A。反证法论题的实质是通过矛盾转化而达到解决问题的目的。

  归谬法在证明时并不假设矛盾论题,它所假设的前提是所反驳的论题为真,即:如果我们要反驳A(即证明非A),则假设A,而不是非(非A)。严格来说,这似乎不应看作是所要证明的命题的否定,而只能看作是与所要证明的命题具有反对关系的命题。从逻辑上看,非A的否定是非(非A)而不是A。作这种区分并不是无意义的。因为在逻辑上非(非A)与A等值与否是要证明的。而在不同的逻辑系统中,证明的结果可能是不同的。如在古典系统中非(非A)与A等值,但是在直觉主义逻辑系统中,非(非A)与A并不等值。在反证法中,由于假设了矛盾论题,运用充分条件假言推理的否定后件式,我们得到非(非A),再根据双重否定律,进行的是否定削去。而归谬法,由于没有假设矛盾论题,根据充分条件假言推理否定后件就要否定前件,进行的是否定引入。

  由于反证法最后进行的是否定削去,而归谬法最后进行的是否定引入,反映在语义方面就是:反证法所证明的是一个命题的真,而归谬法所证明的是一个命题的假。正是由于这个语义上的差别,人们在逻辑思维中对反证法和归谬法有不同的应用。反证法常常用于所谓论证,是一个证明的方法,目的在于确定一个命题为真;而归谬法则通常用于所谓反驳,是反驳的方法目的在于确定一个命题为假。

  对于归谬法来说,当它假设了某一命题为真而导致矛盾时,否定该命题为真从而断定它为假是不言而喻的。但是对于反证法来说当我们假设了某一命题的否定为真而导致矛盾时,我们所能直接断定的只是这一否定命题(即假设)为假,而从断定假设为假到断定所要证明的命题为真,这中间有一个思维上的跳跃。在古典逻辑中,这个跳跃由于排中律而沟通了。排中律对逻辑思维的要求是:在同一思维过程中,对于两个互相矛盾的思想不能同时加以否定,必须承认其中有一个是真的,如果违反了这一要求,就要犯“两不可”的逻辑错误。但是对于一个不承认排中律的人来说,他完全可以追问:为什么一个命题的否定为假,该命题就一定为真呢?显然,如果不承认排中律,则反证法就不能成立。一般认为归谬法的逻辑依据是矛盾律,而反证法的逻辑依据是矛盾律和排中律。

  由于反证法和归谬法在逻辑语形和语义上的不同使得我们认为它们是两种不同的证明方法。当然,这两种方法之间的联系也是存在的,这就是:凡是使用反证法的地方都必定用到了归谬法的程序。这也并不奇怪,因为反证法本来就比归谬法强。只有充分认识到这两者的联系与区别,才能使我们对各种论断的论证具有科学性和说服力。

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